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\pagestyle{empty}

\begin{document}
 \noindent{\Large TD N$^o~3$ TSI SOA 2007-2008}\vskip0.1cm
\hrule
\vskip 0.1cm
L'objectif de ce TD est d'approcher des nombres $\mbox{e}$, $\pi$, $\ln 2$, $\sqrt 2$ par différentes méthodes, toutes au programme de la classe TSI.
\section{\`A l'aide d'approximations d'intégrales}
\subsection{Méthode des trapèzes}\'Ecrire une procédure Trapeze qui prend comme argument une fonction $f$, deux réels $a$ et $b$, un entier strictement positif $n$ et qui renvoie l'approximation de $\displaystyle \int_a^bf(t)\,dt$ par la méthode des trapèzes, lorsque l'on découpe l'intervalle $[a,b]$ en $n$ parties égales. On rappelle que l'approximation est~:
$$\mbox{Trapeze}(f,a,b,n)=\frac {b-a}n\left(\frac{f(a)}2+\sum_{k=1}^{n-1} f(a+k\frac{b-a}n)+\frac{f(b)}2\right)$$ 
\subsection{Approximation de $\pi$}
Calculer $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx$ et en déduire une valeur approchée de $\pi$ utilisant la méthode des trapèzes. Que pensez-vous de la rapidité de convergence~?
\subsection{Quadrature de l'hyperbole}
On prend cette fois-ci $f\colon x\mapsto 1/x$. Justifier graphiquement que
$$\forall x\ge1,\quad\forall n\in\N^*,\quad\int_1^x f(t)\,dt\le\mbox{Trapeze}(f,1,x,n)$$
Tracer également le graphe de $\displaystyle g\colon x\mapsto \frac{2x}{1+x^2}$ pour en déduire~:
$$\forall x\in]0;1],\quad\forall n\in\N^*,\quad\mbox{Trapeze}(g,0,x,n)\le\int_0^x g(t)\,dt$$

\subsubsection{Approximation de $\ln 2$}
\begin{enumerate}
\item Déduire des inégalités précédentes un encadrement de $\ln 2$
\item \'Ecrire une procédure qui renvoie un encadrement de $\ln 2$ de diamètre donné $\epsilon>0$. On pourra l'appeller $\mbox{Lndeux}(\epsilon)$
\end{enumerate}
\subsubsection{Approximation de $\mbox{e}$} 
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire une procédure $\mbox{Quadra}(f,a,p,m,M)$ qui calcule la somme des aires des trapèzes de base $p$ ($p$ comme pas), à partir de $a$, jusqu'à ce que la somme ne soit plus dans  l'intervalle $[m,M]$. $m$ et $M$ doivent être tels que $m\le0\le M$. Cette procédure renvoie alors $x=a+kp$ où $k$ est le numéro du dernier trapèze convenable. Autrement dit, $k$ est le plus grand entier tel que~:
$$m\le\sum_{i=1}^k \frac p2\left(f(a+(i-1)p)+f(a+ip)\right) \le M$$
Et la procédure renvoie $x=a+kp$.
\item Calculer pour différentes valeurs de $p$, avec $|p|$ petit, $\mbox{Quadra}(f,1,p,-1,1)$.
\item Quelle autre valeur approchée obtient-on lorsque $p<0$~?
\end{enumerate}
\section{Méthode du point fixe}
\subsection{Rappel théorique}
Soit $f\colon I\to I$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. On appelle $M$ un majorant de $|f'|$ sur $I$. On peut alors définir une suite récurrente par la donnée de $u_0\in I$ et la relation de récurrence~:
$$\forall n\in\N,\quad u_{n+1}=f(u_n)$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $(u_n)$ converge vers $l\in I$ alors $l=f(l)$ (on dit que $l$ est un point fixe de $f$).
\item Montrer que si $l=\lim u_n$ alors pour tout $n\in\N$ on a~:
$$|u_n-l|\le M^n|u_0-l|$$
En déduire que si $M<1$ et $I=[a,b]$, on peut savoir à l'avance, en fonction de $M$, $\epsilon$ et $d=b-a$, le nombre de termes à calculer pour avoir une approximation de la limite à $\epsilon$ près. \'Ecrire une procédure  $\mbox{NombreTermes}(M,\epsilon,d)$ qui donne le nombre de termes à calculer. 
\end{enumerate}
\subsection{Application~: valeur approchée de $\sqrt 2$}
Prendre $f\colon x\mapsto -\frac 14(x^2-2)+x$, $I=[1;2]$ et $u_0=1$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $I$ est stable par $f$
\item Donner un majorant de $|f'|$ sur $I$ (on peut s'aider de Maple)
\item Quel est le seul point fixe de $f$~?
\item En supposant que la suite tend vers ce point fixe, combien de termes faut-il calculer pour avoir une approximation à $10^{-20}$ près~?
\item \'Ecrire une procédure $\mbox{Rec}(u_0,f,n)$ qui renvoie le terme $u_n$ de la suite définie par récurrence à l'aide de $u_0$ et $f$.
\item Faire les calculs correspondants à l'approximation demandée.
\end{enumerate}
\end{document}
