\include{base}
\newcommand{\motscles}[1]{\fbox{\textbf{#1}}}
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\begin{center}
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   \begin{picture}(6,3)
    \put(0.2,1){\line(1,0){5.6}}
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    \end{picture}
 }
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   \begin{picture}(6,3)
    \put(0.2,1){\line(1,0){5.6}}
    \put(0.2,0.2){\line(0,1){2.6}}
    \end{picture}
 }
\end{center}}
\newcommand{\dessint}{\unitlength=1cm
\begin{center}
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   \begin{picture}(6,3)
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    \end{picture}
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    \end{picture}
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\end{center}}

\begin{document}
\pagestyle{empty} \noindent{\Large TD N$^o~4$ TSI SOA 2007-2008}\vskip0.1cm
\hrule
\vskip 0.1cm
Dans ce TD on va rechercher des solutions approchées d'équations différentielles par différentes méthodes. En premier lieu, on va manipuler des fonctions de plusieurs variables et obtenir leurs dérivées partielles.
\begin{enumerate}
\item Fonction de plusieurs variables.
\begin{enumerate} 
\item Définir la fonction $f\colon\R^2\to \R$ telle que $$f(x,y)=\frac{x^2}{4}-\cos(y)\sqrt{6-x^2}$$ \motscles{$f:=(x,y)->\dots$}
\item Tracer la surface représentative de $f$ (clic droit sur l'expression de $f(x,y)$, puis sélection de plot3D). On adaptera au mieux les intervalles pour $x$ et $y$, en foncton de l'ensemble de définition de $f$, de ses périodicités et symétries.
\item Trouver à l'aide du dessin les (valeurs approchées des) extremums de la fonction, ainsi que leurs positions.
\item Donner les dérivées de $f$ par rapport à chacune des variables. \motscles{D[i]}
\item Retrouver les extremums en cherchant les points critiques de $f$, c'est à dire les couples $(x,y)$ pour lesquels les deux dérivées s'annulent.\motscles{solve}
\end{enumerate}
\item \'Equation différentielle. On considère l'équation différentielle suivante~:
$$y'=f(x,y),\quad\mbox{avec}\quad f(x,y)=y^2-x$$
L'objectif est de trouver des solutions approchées de cette équation, et de les tracer. Dans un premier temps on considèrera une autre équation différentielle plus simple, dont on connait les solutions, afin de comparer la solution approchée avec la solution réelle.\\
Toutes les méthodes qui suivent fonctionnent sur un principe commun. On se donne une valeur $x$ initiale, par exemple
$x_0=0$ et une valeur de $y(x_0)$, que l'on note $y_0$. Puis on se fixe un pas $h$, relativement petit, par exemple $h=0,01$. On construit alors deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ (d'ailleurs éventuellement $n$ est un entier relatif), avec $x_n=nh$ et $(y_n)$ défine par la relation de récurrence~:
$$\forall n\in\N\quad y_{n+1}=y_n+h\phi(x,y_{n},h)$$
où $\phi$ est une fonction de trois variables qui change suivant les méthodes.
\begin{enumerate}
\item Méthode d'Euler : $\phi(x,y,h)=f(x,y)$
\item Méthode d'Euler modifiée~: $$\phi(x,y,h)=f(x+\frac h2,y+\frac h2f(x,y))$$
\item Méthode de Henn :$$\phi(x,y,h)=\frac 12f(x,y)+\frac 12f(x+h,y+h*f(x,y))$$
\item Méthode de Runge Kutta~: $$\phi(x,y,h)=f(x,y)+\frac h2\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+f(x,y)\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)$$
\end{enumerate}
Votre travail consiste à définir les fonctions $f$ et $\phi$,  puis définir une procédure qui prend en argument le pas ,la valeur maximum de $x_n$ et la valeur de $y_0$  puis qui renvoie la liste de points $[[x_0,y_0] [x_1,y_1]\dots[x_n,y_n]]$. Attention, si vous prenez un pas trop petit l'affichage de ce tableau risque de bloquer MAPLE, aussi n'oubliez pas les ``:'' à la place du ``;''. Enfin, il faut tracer sur un même graphique la solution et la liste de points obtenus. \motscles{while, seq, plot}
\end{enumerate}
\end{document}
